Wie Viel Wiegt Ein Reiskorn
Aufgabenstellung
Der Kaiser von China spielt mit einem Bauern Schach. Nachdem er das Spiel verloren hat, ist der Kaiser großzügig und will dem Bauern jeden Wunsch erfüllen. Der Bauer gibt sich bescheiden und verlangt für das erste Schachfeld ein Reiskorn, für das zweite zwei Reiskörner, usw.
Allgemein formuliert verlangt er für jedes Schachfeld doppelt and so viele Reiskörner wie für das Vorhergehende.
Wieviel Reis muss der Kaiser von China abtreten?
Lösung
Ein Schachbrett chapeau \(8 \cdot 8 = 64\) Felder. Für das \(i\)-te Feld, \(one \le i \le 64\), muss der Kaiser \(2^{i-1}\) Reiskörner abgeben. Insgesamt muss er also \(\sum_{i=i}^{64} ii^{i-one}\) Reiskörner abgeben. Das sind \(ii^{64} - 1 = 18446744073709551615 \approx 1{,}84 \cdot 10^{xix}\) Reiskörner.
Beweis
Behauptung: \(\sum_{i=1}^{north} 2^{i-i} = ii^n -i\)
Beweis:
Induktionsanfang: Für \(north=one\) aureate \(\sum_{i=0}^{n-ane} 2^i = 2^0 = 1 = 2^1 - 1\)
Induktionsvorraussetzung: Sei \(n \in \mathbb{N}_{\geq one}\) beliebig, aber fest und es gelte \(\sum_{i=1}^{n} 2^{i-1} = 2^n -1\).
Induktionsschluss:
\begin{marshal} \sum_{i=ane}^{northward+1} 2^{i-1} &= \sum_{i=0}^{n} two^i\\ &= 2^northward + \sum_{i=0}^{north-1} 2^i\\ &\stackrel{Iv}{=} 2^n + (ii^n -one)\\ &=two \cdot ii^due north - 1\\ &= two^{n+1} - 1 \stop{align}
Vergleiche
Wie viel sind xviii.446.744.073.709.551.615 Reiskörner?
Erdabdeckung
Würde man die Erde gleichmäßig mit Reiskörnern abdecken, wie hoch wäre diese Schicht?
Die Erde lid eine Oberfläche von ca. 510 Millionen \(\text{km}^2\), ein Basmati-Reiskorn ist ca 6,five mm lang, chapeau einen Durchmesser von ca. 1,5 mm und lid vereinfacht eine Kreiszylinderform.
Daraus ergibt sich folgende Gleichung, bei der \(x\) die Höhe der Reisschicht ist:
\begin{align} x \cdot A_{Erde} &= (2^{64}-one) \cdot 6,5\text{mm} \cdot (1,5\text{mm})^2 \cdot \pi \\ x &= \frac{(2^{64}-1) \cdot 6,five\text{mm} \cdot (1,5\text{mm})^2 \cdot \pi}{A_{Erde}} \\ x &= \frac{(2^{64}-ane) \cdot 45,9458\text{mm}^iii}{510 \cdot 10^half dozen \cdot 10^{12} \text{mm}^2} \\ 10 &= \frac{8,47550 \cdot x^{20} \text{mm}^iii}{510 \cdot 10^{18} \text{mm}^2} \\ x &= 1,662\text{mm} \end{marshal}
Die Erde könnte likewise komplett mit ca. 1,662 mm Reis, also etwas mehr als einem Reiskorn, bedeckt werden.
Reispackungen
Den vorhergehenden Vergleich finde ich noch etwas unpraktisch. Wieviele Reispackungen wären das?
Eine handelsübliche Packung Reis beinhaltet ca. i kg Reis. Ein Reiskorn wiegt ca. 65 mg.
\begin{marshal} x &:= \text{Reispackungen} \\ x \cdot 1\text{kg} &= 65\text{mg} \cdot (two^{64}-1) \\ x \cdot ten^6\text{mg} &= 1199038364791120854975\text{mg} \\ 10 &\approx i,2 \cdot 10^{fifteen} \cease{align}
Reispackungen pro Person
Auch \(ane,ii \cdot ten^{15}\) ist noch zu groß, um sich etwas darunter vorstellen zu können. Wie viele Reispackungen wären das pro Person auf der Erde?
\brainstorm{align} x &:= \text{Reispackungen pro Mensch} \\ x &= \frac{one,2 \cdot 10^{15}}{half dozen,93 \cdot ten^9} \\ x &\approx one,7 \cdot 10^v \end{align}
Jeder Mensch würde also 170.000 Packungen Reis von Kaiser von China bekommen. Um den täglichen Kalorienbedarf zu decken werden ca. 1,i kg Reis benötigt. Es könnten also alle Menschen der Erde ca. 154.545 Tage, das sind über 423 Jahre, ernährt werden!
Marktwert
Reis kostet auf dem Weltmarkt ca. 600 United states of america-Dollar pro metrischer Tonne (Quelle).
\brainstorm{align} 10 &:= \text{Marktwert} \\ 10 &= \frac{one,2 \cdot 10^{fifteen}}{1000} \cdot 600 \text{ US-Dollar}\\ x &= 720000000000000 \end{align}
Der Reis hätte besides einen Marktwert von 720 Billionen United states-Dollar.
Zum Vergleich: Das BIP der gesamten Welt, as well die Summe der Werte aller Güter und Dienstleistung, lag 2007 bei ca. 54 Billionen US-Dollar (Quelle).
Source: https://martin-thoma.com/der-kaiser-von-china-und-der-reis/#:~:text=Eine%20handels%C3%BCbliche%20Packung%20Reis%20beinhaltet,65%20mg.
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